Logikschaltungen 2021 history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 23.09.21 17:13:40
Ob ich via Kanonische Normalformen wirklich die kürzeste Gleichung erwischt habe bleibt so lange in Frage, bis zu sämtlichen Kombinationen einschließlich ihrer Negationen alle Ersetzungen durchprobiert worden sind. Anschließend werden die de Morgan'schen Theoreme zur Gelichungszusammenfassung eingesetzt. Hier genau setzen die Karnaugh-Veitch-Diagramme an - sie zeigen von vornherein, ob es überhaupt eine Vereinfachung gibt - und wenn ja, gewinne ich sofort die optimierte Gleichung (bzw. eine davon, was meistens der Fall ist - es gibt von vornherein meist mehrere gleichwertige optimierte Lösungsvarianten).
Das Karnaugh-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, KV-Diagramm) enthält in gedrängter Form die Informationen der Wertetabelle. Das Karnaugh-Diagramm hat bei n Eingangsvariablen 2n Felder (Bilder unten). In die Felder wird 1 eingetragen, wenn der UND-Term der Eingangsvariablen den Wert 1 der Schaltfunktion liefert. Die anderen Felder erhalten den Wert 0, wobei das entscheidende die hexdezimal gesplittete Anordnung der Zielfelder sowie ihre logische Zusammenfassung ist.
Die Bestimmung der reduzierten Schaltfunktion ist bei mehr als zwei Eingangsvariablen mit Hilfe des Karnaugh-Diagramms meist einfacher als mit schaltalgebraischen Mitteln.
1. Kanonische Normalformn
2. Lösung mittels Karnaugh-Veitch-Tafeln
3. Zusammenfassung nach Quine/McClusky
4. Zusammenfassung nach Bool'schen Regeln sowie den de Morgan'schen Theoremen
5. Schaltungsrealisierungen
6. Alternative Lösungen
7. Verwandte Themen

Schaltungssythese

Logo Kanonische Normalformen 2021

inhaltlich auf korrektem Stand - evtl. partiell unvollständig ;-)

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik

Karnaugh-Veitch-Tafel für 2-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 3-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

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Aufgabenblock 2021

... Logische Kanonik F. Rost 2021


1. Kanonische Normalform history menue scroll up

Die Übungsaufgabe in Sachen Logik zur Abiturvorbereitung 2021 sollte auch einmal einen vollständigen sowie komplexen Charakter haben. Die kanonische Normalform ist die einfachste und zuverlässigste Lösung - allerdings auch die mit dem garantiert höchsten Aufwand. Nur sehr wenige Logikvorgaben bieten keine Möglichkeit, weiter zusammengefasst zu werden
... Projekte vergangener Jahre

Anne's Prjekt aus 2015 weiter geführt als Komplett-Logik

Das Kombinatorik-Projekt

Logik-Projekt 2012

... Logik-Projekt von 2019

gegebene Logiktabelle dazugehörige Logikgleichungen dazugehörige Kanonik Preistabellen 2021 Preiskalkulation 2021

... meine Ausgangstabelle

Logikgleichungen zum Projekt

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Kanonische Normalformen (es sind beide enthalten)

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Dateidownload im Word-Format

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2. Lösung mittels Karnaugh-Veitch-Tafeln history menue scroll up

Wie bereits erwähnt, kann man aus den Grundelementen UND, ODER und NICHT jeden beliebigen anderen logischen Ausdruck zusammenstellen. Wir haben des weiteren gesehen, wie man aus einer beliebigen Wahrheitstafel zu einer logischen Funktion kommt. Angesichts der doch relativ aufwendigen und vor allem fehleranfälligen Methode der Vereinfachung mit Hilfe der Boole'schen Algebra stellt sich jedoch die Frage, ob es nicht einfachere Methoden gibt, eine möglichst kompakte logische Funktion zu bestimmen. Eine dieser Methoden beruht auf einer graphischen Darstellung der Wahrheitstafel und heißt Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm).
Im KV-Diagramm wird die Wahrheitstafel nur in etwas veränderter Form aufgetragen. Das Diagramm hat die Form eines Schachbrettes, wobei jedes Feld des Schachbrettes eine hexadezimale Nummer trägt, die der Bitkombination der Wahrheitstafel entspricht. Die Felder sind so angeordnet, dass sich jedes benachbarte Feld nur durch jeweils eine Variable unterscheidet. Je nachdem, wie viele Eingangsvariablen vorhanden sind, ist das KV-Diagramm unterschiedlich groß. Die Grenzen für 2 bis 6 Eingangsvariablen sind in folgender Abbildung mit stärkeren Linien markiert.
... und weil ich das jedes Jahr neu lernen muss, habe ich mir gedacht: "... schreiben wir's doch mal ganz detailliert mit Beispiel auf!" ... los geht's:
  • ... es geht nicht um die Zusammenfassung auf logisch "1" oder "0", sondern um die Zusammenfassung möglichst großer Blöcke (welche sich auch überlappen dürfen, wenn dies Änderungen an den Eingängen bringt)
  • die Karnaugh-Tafel muss für jeden Ausgang getrennt erstellt werden
  • je größer die Anzahl der gesuchten "Ausgangslogiken" Null oder Eins - desto unwahrscheinlich ist es, das die Zusammenfassung mittels Karnaugh-Tafeln eine wirkliche Einsparung bringen
  • wenn man nur wenig Glück hat, wird die "zu erbringende Last" der Logik nur auf andere Logikelemente verschoben
  • hat man Pech, dann wird die Karnaugh-Zusammenfassung selbst im optimalen Falle der der optimalen "Blockbildung" unter Umständen größer, als eine der minimalen Kanonischen Normalformen sein
  • Analyse der Anzahl der logischen Signale am jeweiligen Ausgang (Mehrheit "0" oder "1" entscheiden über das Verfahren
  • Eintragen der logischen Ausgänge in die Tafel mit der korrekten Eingangszahl
  • sind die Zeilenzahlen Hex nummeriert, können die Ausgangsbelegungen direkt eingetragen werden
  • anschließend Blockbildung - Ziel ist es, möglichst wenige, aber dafür große Blöcke zu bilden Fehlerhafte Blockbildung wirkt sich nicht auf das Ergebnis aus - die Schaltung wird nur unnötig größer
  • ... bei der Blockbildung dürfen die Begrenzungen der Quadranten nicht überschritten werden (... ist schon prägend, wenn man den ersten bis zum letzten Schritt mal "alleine" durchgeht und dabei bemerkt - Vorsicht - in den Spielregeln steckt noch mehr, und wenn Du dies nicht beachtest, suchst Du Dich dumm und dämlich - gegeben zum 18.4.2021 um 15.57 Uhr!!!
  • Blöcke werden immer in Vielfachen von 2 aufgebaut - (... ungerade Blockanzahlen sind ergo nicht möglich!)
  • ausgelesen werden nur die Eingänge, welche sich innerhalb eines Blockes nicht ändern!!!
  • bei Suche auf "1" werden diese in sich UND-verknüpft und die entstehenden Minterme ODER verknüpft
  • bei Suche auf "0" werden diese in sich UND-verknüpft und die entstehenden Minterme ODER verknüpft und der gesamte Block im Ergebnis negiert
  • ... auf der Website des des Projektes von 2020 ganz genau beschrieben

... siehe auch Projekt von 2020

Karnaugh-Tafel auf y0 mit Blockbildung auf logisch "1"

Karnaugh-Tafel auf y1 mit Blockbildung auf logisch "1"

Karnaugh-Tafel auf y2 mit Blockbildung auf logisch "0"

Karnaugh-Tafel auf y0 mit Blockbildung auf logisch "1"

Karnaugh-Veitch-Diagramm für n=4
Zeile x3 x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 0 00H
2. 0 0 0 1 01H
3. 0 0 1 0 02H
4. 0 0 1 1 03H
5. 0 1 0 0 04H
6. 0 1 0 1 05H
7. 0 1 1 0 06H
8. 0 1 1 1 07H
9. 1 0 0 0 08H
10. 1 0 0 1 09H
11. 1 0 1 0 0AH
12. 1 0 1 1 0BH
13. 1 1 0 0 0CH
14. 1 1 0 1 0DH
15. 1 1 1 0 0EH
16. 1 1 1 1 0FH

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0 x0 x0
    0 1 1 0
x1 0 00H 01H 05H 04H 0 x3
x1 1 02H 03H 07H 06H 0 x3
x1 1 0AH 0BH 0FH 0EH 1 x3
x1 0 08H 09H 0DH 0CH 1 x3
    0 0 1 1
    x2 x2 x2 x2

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken (richtig seit 17.11.2012)

Jede Zusammenfassung im Karnaugh-Diagramm soll möglichst viele Felder enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein. Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion. Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern, werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden Terme der Blöcke verknüpft man durch die ODER-Funktion. Diese schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion. Die Zusammenfassung der Felder mit dem Wert 1 im Karnaugh-Diagramm liefert die reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der Felder mit dem Wert 0 den Wert s der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch nochmaliges Negieren von s erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen.

  • wenn benachbarte Felder eine 1 enthalten, werden sie zusammengefasst
  • diese Zusammenfassung darf keine Nullen enthalten
  • die Zusammenfassungen müssen Rechtecke sein
  • die Gruppen dürfen sich überlappen
  • eine Gruppe darf nicht vollständig von einer anderen Gruppe umschlossen werden
  • die Anzahl der Felder die man zusammenfasst, muss einer Potenz der Zahl 2 entsprechen, also 1, 2, 4, 8, 16, ...
  • die Zusammenfassung kann auch über die Ränder des Diagramms hinausgehen, also z.B. Feld 3 und 7, oder 6 und 14
  • alle zusammengehörenden Felder sollten über jeweils eine 2-Eingangs-AND-Logik geschalten werden können (solange die Eingangsanzahl kleiner 5 ist - Einzelfelder benötigen hier bereits eine 3-Eingangs-AND-Logik

... siehe zur Zusammenfassung aber auch hier!!!

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

  hier auch zu Download als CorelDraw 11.0 Datei

 

... hier ist die Lösung für 4er-Tafeln faktisch als Teilmenge enthalten

Die Verbindung zwischen KV-Diagramm und Wahrheitstafel ergibt sich wie folgt: Jede Eingangsvariable wird mit einem Buchstaben, beginnend mit a, von rechts nach links benannt. Jede Zeile der Wahrheitstafel entspricht nun jenem Feld des KV-Diagramms, dessen hexadezimale Nummer der Bitkombination der Eingangsvariablen entspricht.
 

Ableitung einer KV-Tafel aus den Eingangsgrößen

Karnaugh-Veich-Diagramm für maximal 6 Eingangsvariable (hier a bis f)


3. Zusammenfassung via Quine/McClusky-Verfahren history menue scroll up
Das Karnaugh-Veitch-Diagramm ist primär nichts anderes, als eine andere (eigentlich sogar kürzere!) Schreibweise der Wertetabelle einer logischen Funktion. Felder werden eigentlich nur noch für die Ergebnisse der Funktion vorgesehen - und das sind immer so viele, wie die Funktion maximale Schaltkombinationen hat.
Beispiel 1:
... irgendwie gegeben Schaltbelegungstabelle (... eine Kombination von zufälligen Minimaltermen  (Mintermen))
Eingang d
x3 = 8
Eingang c
x2 = 4
Eingang b
x1= 2
Eingang a
x0 = 1
Ausgang y HEX-Wert
0 0 0 1 1 01H
0 1 0 1 1 05H
1 0 1 1 1 0BH
1 1 1 0 1 0EH
alle übrigen 0  
 

4. Zusammenfassung nach Bool'schen Regeln sowie den de Morgan'schen Theoremen history menue scroll up
Logik zusammenfassen geht ganz klassisch mit den Regeln der Bool'schen Alegbra - gibt's für jeden Studenten in der universitären Grundlagen-Mathematik gratis und ist dort gut verhasst, weil die Hälfte der Bewerber seit Jahren genau daran scheitert.
 

5. Schaltungstechnische Lösungen history menue scroll up
Die kürzeste Schaltung, welche die Eingangsbedingungen erfüllt soll nunmehr als Schaltplan installiert werden
Übersicht Basis-IC Pin-Belegung Übersicht Basis-IC funktional Speicher programmierbare Steuerungen - SPS

wichtige IC's

 

6. Alternative Lösungen history menue scroll up
Alternativ würde heute niemand mehr derartigen Aufwand zur Realisierung selbst kleinerer Projekte mit simplen Logikbauelementen projektieren - sowohl Entwicklung, Leiterplattenfertigung, die Anzahl sowie die Menge Einzelbauelemente - und letztendlich die Kosten würden jedem Endanwender raten: "... mach' das irgendwie anders, aber nicht so!!!"
ROM-Logik Microcontroller Speicher programmierbare Steuerungen - SPS

Speicherbausteine - theoretisch heute jeder Art

Einchiprechner

logische Arrays


7. Verwandte Themen history menue scroll up

Hat schon diese Site viel mit Logik zu tun, so kann's auf einer der folgenden damit noch happiger werden. Mich beeindruckt dabei immer wieder, wie man unter dem unwissenden Volk (das bist Du, der Du erarbeitend bis zu diesem Punkte gelangt bist, schon lange nicht mehr!) mit den Wörtchen "und", "oder" und "nicht" evtl. gespickt mit den Regeln der Schachtelung sowie Relationenalgebra Verwirrung stiften kann. Wer's nicht glaubt, löst die Aufgaben unter dem dritten Verweis - aber bitte alle - und das schnell ;-)

Praktischer Entwurf von Logikschaltungen

Schaltungen mit IC's

Installation von Logikschaltungen

komplexe Logiken

Logikfunktionen und technologische Fertigungsverfahren

Transistor-Kennlinienfeld

 

Beschreibung des Eingangssignalverhaltens für die Party-Aufgabe

Übersicht der logischen Grundfunktionen

TTL-Liste

zur CMOS-Liste

EPROM-Logik

ROM-Logik

1 aus n-Decoder

Bool'sches Aussagenkalkül

Multiplexer

logische Arrays

de Morgan'schen Theoreme

 

   



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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost am 13. September 2021

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehemn ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-)