6.3 Schaltalgebra mit Karnough-Veitch-Tafeln, McClusky-Zusammenfassung sowie de Morgan'scher Regeln history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 09.11.20 09:22:06
Ob ich via Kanonische Normalformen wirklich die kürzeste Gleichung erwischt habe bleibt so lange in Frage, bis zu sämtlichen Kombinationen einschließlich ihrer Negationen alle Ersetzungen durchprobiert worden sind. Anschließend werden die de Morgan'schen Theoreme zur Gelichungszusammenfassung eingesetzt. Hier genau setzen die Karnaugh-Veitch-Diagramme an - sie zeigen von vornherein, ob es überhaupt eine Vereinfachung gibt - und wenn ja, gewinne ich sofort die optimierte Gleichung (bzw. eine davon, was meistens der Fall ist - es gibt von vornherein meist mehrere gleichwertige optimierte Lösungsvarianten).
Das Karnaugh-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, KV-Diagramm) enthält in gedrängter Form die Informationen der Wertetabelle. Das Karnaugh-Diagramm hat bei n Eingangsvariablen 2n Felder (Bilder unten). In die Felder wird 1 eingetragen, wenn der UND-Term der Eingangsvariablen den Wert 1 der Schaltfunktion liefert. Die anderen Felder erhalten den Wert 0, wobei das entscheidende die hexdezimal gesplittete Anordnung der Zielfelder sowie ihre logische Zusammenfassung ist.
Die Bestimmung der reduzierten Schaltfunktion ist bei mehr als zwei Eingangsvariablen mit Hilfe des Karnaugh-Diagramms meist einfacher als mit schaltalgebraischen Mitteln.
1. Minimale Logikschaltungen
2. Zusammenfassung nach Karnaugh
3. Zusammenfassung nach McClusky
4. de Morgan'sche Regeln
5. Übungsaufgaben zu KV-Diagrammen
6. Verwandte Themen

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inhaltlich auf korrektem Stand - evtl. partiell unvollständig ;-)

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik

Karnaugh-Veitch-Tafel für 2-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 3-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

... das ZIP-Archiv komplett auspacken und die .EXE-Datei starten

hier die Original-CAD-Zeichnung dazu

1. Minimale Logikschaltungen??? history menue scroll up

Logische Schaltungen kann man bei kleiner Eingangszahl locker auch schon einmal intuitiv ermitteln - es gibt einfach nicht hinreichend viele Möglichkeiten. Aber das Problem ist eben nicht linear, sondern exponentiell - die Anzahl steht gar nicht in der Basis, sie bildet den Exponenten ab!!!

EPROM-Logik

Das Kombinatorik-Projekt

Logik-Projekt 2012


2. Zusammenfassung nach Karnaugh history menue scroll up

Wie bereits erwähnt, kann man aus den Grundelementen UND, ODER und NICHT jeden beliebigen anderen logischen Ausdruck zusammenstellen. Wir haben des weiteren gesehen, wie man aus einer beliebigen Wahrheitstafel zu einer logischen Funktion kommt. Angesichts der doch relativ aufwendigen und vor allem fehleranfälligen Methode der Vereinfachung mit Hilfe der Boole'schen Algebra stellt sich jedoch die Frage, ob es nicht einfachere Methoden gibt, eine möglichst kompakte logische Funktion zu bestimmen. Eine dieser Methoden beruht auf einer graphischen Darstellung der Wahrheitstafel und heißt Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm).
Im KV-Diagramm wird die Wahrheitstafel nur in etwas veränderter Form aufgetragen. Das Diagramm hat die Form eines Schachbrettes, wobei jedes Feld des Schachbrettes eine hexadezimale Nummer trägt, die der Bitkombination der Wahrheitstafel entspricht. Die Felder sind so angeordnet, dass sich jedes benachbarte Feld nur durch jeweils eine Variable unterscheidet. Je nachdem, wie viele Eingangsvariablen vorhanden sind, ist das KV-Diagramm unterschiedlich groß. Die Grenzen für 2 bis 6 Eingangsvariablen sind in folgender Abbildung mit stärkeren Linien markiert.

Karnaugh-Veitch-Tafeln


3. Zusammenfassung nach McClusky history menue scroll up
Während eine Zusammenfassung mit Karnaugh-Veitch-Diagrammen effektive Lösungen bei maximal drei Eingangs-Logiken ergeben - bei vieren ist dies bereits deutlich eingeschränkt, ergeben sich nach dem Verfahren von McClusky auch bei hoher Eingangszahl noch Möglichkeiten zur Zusammenfassung. Meist sind die Zusammenfassungen mittels McCluscy die optimalen Lösungen

McClusky-Zusammenfassung


4. Möglichkeiten der de Morgan'schen Regeln history menue scroll up
Hier können sich u. U. nochmals Möglichkeiten der "Verkleinerung des Aufwandes" ergeben. Oft optimale Ergebnisse kann man durch die vollständige Anwendung der McClusky-Verfahren erzielen.

de Morgan'schen Theoreme


5. Übungsaufgaben history menue scroll up
Hier können sich u. U. nochmals Möglichkeiten der "Verkleinerung des Aufwandes" ergeben. Oft optimale Ergebnisse kann man durch die vollständige Anwendung der McClusky-Verfahren erzielen.
      Beispiel F. Rost 2020
     

Musterlösung F. Rost 2020 für Lehrzwecke


6. Verwandte Themen history menue scroll up

Hat schon diese Site viel mit Logik zu tun, so kann's auf einer der folgenden damit noch happiger werden. Mich beeindruckt dabei immer wieder, wie man unter dem unwissenden Volk (das bist Du, der Du erarbeitend bis zu diesem Punkte gelangt bist, schon lange nicht mehr!) mit den Wörtchen "und", "oder" und "nicht" evtl. gespickt mit den Regeln der Schachtelung sowie Relationenalgebra Verwirrung stiften kann. Wer's nicht glaubt, löst die Aufgaben unter dem dritten Verweis - aber bitte alle - und das schnell ;-)

Praktischer Entwurf von Logikschaltungen

TTL-Liste

CMOS-Liste

Schaltungen mit IC's

Installation von Logikschaltungen

 

Logikfunktionen und technologische Fertigungsverfahren

Transistor-Kennlinienfeld

Beschreibung des Eingangssignalverhaltens für die Party-Aufgabe

TTL-Liste

logische Arrays

EPROM-Logik

1 aus n-Decoder

Multiplexer

Kanonische Normalformen

Bool'sches Aussagenkalkül

de Morgan'schen Theoreme

Logikschaltungen mit Relais - die hohe Schule


Alle der nachfolgenden Aufgaben beziehen irgendwie die logische Zuordnung und/oder kanonische Normalformen in die Lösungsstrategien ein (wenngleich das auch prinzipiell anders geht). Dabei liefern die KV-Diagramme, wenn überhaupt möglich (also Blöcke gebildet werden können ) von vornherein eine fast optimierte Lösung.

Michael Krasselts Extrem-Logik von 2012/2013

Zeile x3

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x1 x0 y1 y0
1. 0 0 0 0 1 0
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3. 0 0 1 0 1 0
4. 0 0 1 1 1 0
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6. 0 1 0 1 0 0
7. 0 1 1 0 0 0
8. 0 1 1 1 0 1
9. 1 0 0 0 0 0
10. 1 0 0 1 1 1
11. 1 0 1 0 0 1
12. 1 0 1 1 1 1
13. 1 1 0 0 0 0
14. 1 1 0 1 1 0
15. 1 1 1 0 0 1
16. 1 1 1 1 0 1

Logik-Aufgaben 2012 - die Übung


7. Linksammlung zu KV-Diagrammen history menue scroll up
Das Verfahren an sich ist noch nicht all zu alt, hataber an allen einschlägigen Studiengängen weltweit Eingang gefunden, welche sich nur annähernd damit befassen. Das sind schon einmal alle ingeieurwissenschaftlichen Disziplinen - komischerweise jedoch nicht Mathematik und auch nicht Kerninformatik.
http://www.vias.org/mikroelektronik/dig_karnaughveitch.html
 


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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost im Oktober 2006

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehemn ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

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