6.3. Schaltalgebra mit Karnough-Veitch-Tafeln history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 26.01.19 08:59:02
Ob ich via Kanonische Normalformen wirklich die kürzeste Gleichung erwischt habe bleibt so lange in Frage, bis zu sämtlichen Kombinationen einschließlich ihrer Negationen alle Ersetzungen durchprobiert worden sind. Anschließend werden die de Morgan'schen Theoreme zur Gelichungszusammenfassung eingesetzt. Hier genau setzen die Karnaugh-Veitch-Diagramme an - sie zeigen von vornherein, ob es überhaupt eine Vereinfachung gibt - und wenn ja, gewinne ich sofort die optimierte Gleichung (bzw. eine davon, was meistens der Fall ist - es gibt von vornherein meist mehrere gleichwertige optimierte Lösungsvarianten).
Das Karnaugh-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, KV-Diagramm) enthält in gedrängter Form die Informationen der Wertetabelle. Das Karnaugh-Diagramm hat bei n Eingangsvariablen 2n Felder (Bilder unten). In die Felder wird 1 eingetragen, wenn der UND-Term der Eingangsvariablen den Wert 1 der Schaltfunktion liefert. Die anderen Felder erhalten den Wert 0, wobei das entscheidende die hexdezimal gesplittete Anordnung der Zielfelder sowie ihre logische Zusammenfassung ist.
Die Bestimmung der reduzierten Schaltfunktion ist bei mehr als zwei Eingangsvariablen mit Hilfe des Karnaugh-Diagramms meist einfacher als mit schaltalgebraischen Mitteln.
1. Maurice Karnaugh
2. Grundaufbau von Karnaugh-Veitch-Tafeln
3. Eintragen logischer Funktionen in KV-Diagramme
4. Auswerten von Karnaugh-Veitch-Tafeln
5. Verwandte Themen
6. Übungsaufgaben zu KV-Diagrammen
7. Linksammlung zu KV-Diagrammen

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inhaltlich auf korrektem Stand - evtl. partiell unvollständig ;-)

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik

Karnaugh-Veitch-Tafel für 2-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 3-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

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hier die Original-CAD-Zeichnung dazu

1. Maurice Karnaugh history menue scroll up

"Maurice Karnaugh (* 4. Oktober 1924 in New York City) ist ein US-amerikanischer Physiker.
Karnaugh studierte von 1944 bis 1948 Mathematik und Physik am City College of New York. Nach Abschluss seines Studiums als Bachelor of Science ging er zur Yale University in New Haven (Connecticut), wo er 1950 den Grad eines Master of Science erwarb und 1952 zum Doktor der Physik promovierte. Zugleich war er hier von 1948 bis 1952 als Forschungsassistent und Hochschullehrer tätig.
Anschließend übernahm er von 1952 bis 1966 als Professor für experimentelle Forschungen eine leitende Position bei den Bell Laboratories in Murray Hills (New Jersey). Seine wissenschaftliche Arbeit galt speziell dem Gebiet der Heuristik. Karnaugh entwickelte neue Techniken und Methoden für den schnelleren Entwurf informationstechnischer Systeme. Das von ihm dafür entwickelte und nach ihm als Karnaugh-Diagramm (Karnaugh-Veitch-Diagramm, KV-Diagramm) benannte Verfahren beschrieb er erstmals 1953 in der Fachzeitschrift 'Communications and Electronics'.
Von 1966 bis 1970 trat Karnaugh als Geschäftsführer und Leiter für Forschung und Entwicklung in den Dienst der Federal Systems Diversity. Anschließend ging er von 1970 bis 1989 als leitender Forscher zum IBM Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights (New York). Von 1981 bis zum Eintritt in den Ruhestand im Jahr 1989 lehrte Karnaugh zudem als Professor für Computerwissenschaft am Polytechnical Institute of New York. Darüber hinaus berichtete er über seine wissenschaftliche Arbeit in zahlreichen Publikationen."

Quelle: WIKIPEDIA

Das Kombinatorik-Projekt

Logik-Projekt 2012


2. Grundaufbau von Karnaugh-Veitch-Tafeln history menue scroll up

Wie bereits erwähnt, kann man aus den Grundelementen UND, ODER und NICHT jeden beliebigen anderen logischen Ausdruck zusammenstellen. Wir haben des weiteren gesehen, wie man aus einer beliebigen Wahrheitstafel zu einer logischen Funktion kommt. Angesichts der doch relativ aufwendigen und vor allem fehleranfälligen Methode der Vereinfachung mit Hilfe der Boole'schen Algebra stellt sich jedoch die Frage, ob es nicht einfachere Methoden gibt, eine möglichst kompakte logische Funktion zu bestimmen. Eine dieser Methoden beruht auf einer graphischen Darstellung der Wahrheitstafel und heißt Karnaugh-Veitch-Diagramm (KV-Diagramm).
Im KV-Diagramm wird die Wahrheitstafel nur in etwas veränderter Form aufgetragen. Das Diagramm hat die Form eines Schachbrettes, wobei jedes Feld des Schachbrettes eine hexadezimale Nummer trägt, die der Bitkombination der Wahrheitstafel entspricht. Die Felder sind so angeordnet, dass sich jedes benachbarte Feld nur durch jeweils eine Variable unterscheidet. Je nachdem, wie viele Eingangsvariablen vorhanden sind, ist das KV-Diagramm unterschiedlich groß. Die Grenzen für 2 bis 6 Eingangsvariablen sind in folgender Abbildung mit stärkeren Linien markiert.
Die Verbindung zwischen KV-Diagramm und Wahrheitstafel ergibt sich wie folgt: Jede Eingangsvariable wird mit einem Buchstaben, beginnend mit a, von rechts nach links benannt. Jede Zeile der Wahrheitstafel entspricht nun jenem Feld des KV-Diagramms, dessen hexadezimale Nummer der Bitkombination der Eingangsvariablen entspricht.
 

Ableitung einer KV-Tafel aus den Eingangsgrößen

Karnaugh-Veich-Diagramm für maximal 6 Eingangsvariable (hier a bis f)

Karnaug-Veitch-Diagramm für n=2
Zeile x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 00H
2. 0 1 01H
3. 1 0 02H
4. 1 0 03H

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0
    0 1
x1 0 00H 01H
x1 1 02H 03H

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 2-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 2-Eingangs-Logiken

 
Karnaug-Veitch-Diagramm für n=3
Zeile x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 00H
2. 0 0 1 01H
3. 0 1 0 02H
4. 0 1 0 03H
5. 1 0 1 04H
6. 1 0 0 05H
7. 1 1 1 06H
8. 1 1 0 07H

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0 x0 x0
    0 1 1 0
x1 0 00H 01H 05H 04H
x1 1 02H 03H 07H 06H
    0 0 1 1
    x2 x2 x2 x2

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 3-Eingangs-Logiken (richtig seit 18.11.2012)

Jede Zusammenfassung im Karnaugh-Diagramm soll möglichst viele Felder enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein. Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion. Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern, werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden Terme der Blöcke verknüpft man durch die ODER-Funktion. Diese schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion. Die Zusammenfassung der Felder mit dem Wert 1 im Karnaugh-Diagramm liefert die reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der Felder mit dem Wert 0 den Wert s der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch nochmaliges Negieren von s erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen.

  • wenn benachbarte Felder eine 1 enthalten, werden sie zusammengefasst
  • diese Zusammenfassung darf keine Nullen enthalten
  • die Zusammenfassungen müssen Rechtecke sein
  • die Gruppen dürfen sich überlappen
  • eine Gruppe darf nicht vollständig von einer anderen Gruppe umschlossen werden
  • die Anzahl der Felder die man zusammenfasst, muss einer Potenz der Zahl 2 entsprechen, also 1, 2, 4, 8, 16, ...
  • die Zusammenfassung kann auch über die Ränder des Diagramms hinausgehen, also z.B. Feld 3 und 7, oder 6 und 14
  • alle zusammengehörenden Felder sollten über jeweils eine 2-Eingangs-AND-Logik geschalten werden können (solange die Eingangsanzahl kleiner 5 ist - Einzelfelder benötigen hier bereits eine 3-Eingangs-AND-Logik

... siehe zur Zusammenfassung aber auch hier!!!

Karnaugh-Veitch-Tafel für 3-Eingangs-Logiken

 
Karnaug-Veitch-Diagramm für n=4
Zeile x3 x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 0 00H
2. 0 0 0 1 01H
3. 0 0 1 0 02H
4. 0 0 1 1 03H
5. 0 1 0 0 04H
6. 0 1 0 1 05H
7. 0 1 1 0 06H
8. 0 1 1 1 07H
9. 1 0 0 0 08H
10. 1 0 0 1 09H
11. 1 0 1 0 0AH
12. 1 0 1 1 0BH
13. 1 1 0 0 0CH
14. 1 1 0 1 0DH
15. 1 1 1 0 0EH
16. 1 1 1 1 0FH

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0 x0 x0
    0 1 1 0
x1 0 00H 01H 05H 04H 0 x3
x1 1 02H 03H 07H 06H 0 x3
x1 1 0AH 0BH 0FH 0EH 1 x3
x1 0 08H 09H 0DH 0CH 1 x3
    0 0 1 1
    x2 x2 x2 x2

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken (richtig seit 17.11.2012)

Jede Zusammenfassung im Karnaugh-Diagramm soll möglichst viele Felder enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein. Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion. Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern, werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden Terme der Blöcke verknüpft man durch die ODER-Funktion. Diese schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion. Die Zusammenfassung der Felder mit dem Wert 1 im Karnaugh-Diagramm liefert die reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der Felder mit dem Wert 0 den Wert s der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch nochmaliges Negieren von s erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen.

  • wenn benachbarte Felder eine 1 enthalten, werden sie zusammengefasst
  • diese Zusammenfassung darf keine Nullen enthalten
  • die Zusammenfassungen müssen Rechtecke sein
  • die Gruppen dürfen sich überlappen
  • eine Gruppe darf nicht vollständig von einer anderen Gruppe umschlossen werden
  • die Anzahl der Felder die man zusammenfasst, muss einer Potenz der Zahl 2 entsprechen, also 1, 2, 4, 8, 16, ...
  • die Zusammenfassung kann auch über die Ränder des Diagramms hinausgehen, also z.B. Feld 3 und 7, oder 6 und 14
  • alle zusammengehörenden Felder sollten über jeweils eine 2-Eingangs-AND-Logik geschalten werden können (solange die Eingangsanzahl kleiner 5 ist - Einzelfelder benötigen hier bereits eine 3-Eingangs-AND-Logik

... siehe zur Zusammenfassung aber auch hier!!!

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

Karnaug-Veitch-Diagramm für n=5
Zeile x4 x3 x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 0 0 00H
2. 0 0 0 0 1 01H
3. 0 0 0 1 0 02H
4. 0 0 0 1 1 03H
5. 0 0 1 0 0 04H
6. 0 0 1 0 1 05H
7. 0 0 1 1 0 06H
8. 0 0 1 1 1 07H
9. 0 1 0 0 0 08H
10. 0 1 0 0 1 09H
11. 0 1 0 1 0 0AH
12. 0 1 0 1 1 0BH
13. 0 1 1 0 0 0CH
14. 0 1 1 0 1 0DH
15. 0 1 1 1 0 0EH
16. 0 1 1 1 1 0FH
17. 1 0 0 0 0 10H
18. 1 0 0 0 1 11H
19. 1 0 0 1 0 12H
20. 1 0 0 1 1 13H
21. 1 0 1 0 0 14H
22. 1 0 1 0 1 15H
23. 1 0 1 1 0 16H
24. 1 0 1 1 1 17H
25. 1 1 0 0 0 18H
26. 1 1 0 0 1 19H
27. 1 1 0 1 0 1AH
28. 1 1 0 1 1 1BH
29. 1 1 1 0 0 1CH
30. 1 1 1 0 1 1DH
31. 1 1 1 1 0 1EH
32. 1 1 1 1 1 1FH

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0
    0 1 1 0 0 1 1 0
x1 0 00H 01H 05H 04H 14H 05H 11H 10H 0 x3
x1 1 02H 03H 07H 06H 16H 17H 13H 12H 0 x3
x1 1 0AH 0BH 0FH 0EH 1EH 1FH 1BH 1AH 1 x3
x1 0 08H 09H 0DH 0CH 1CH 1DH 19H 18H 1 x3
    0 0 1 1 1 1 0 0
    x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
    0 0 0 0 1 1 1 1
    x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 5-Eingangs-Logiken  (richtig seit 18.11.2012)

Karnaugh-Veich-Diagramm für maximal 6 Eingangsvariable (hier a bis f)

Jede Zusammenfassung im Karnaugh-Diagramm soll möglichst viele Felder enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein. Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion. Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern, werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden Terme der Blöcke verknüpft man durch die ODER-Funktion. Diese schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion. Die Zusammenfassung der Felder mit dem Wert 1 im Karnaugh-Diagramm liefert die reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der Felder mit dem Wert 0 den Wert s der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch nochmaliges Negieren von s erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen.

  • wenn benachbarte Felder eine 1 enthalten, werden sie zusammengefasst
  • diese Zusammenfassung darf keine Nullen enthalten
  • die Zusammenfassungen müssen Rechtecke sein
  • die Gruppen dürfen sich überlappen
  • eine Gruppe darf nicht vollständig von einer anderen Gruppe umschlossen werden
  • die Anzahl der Felder die man zusammenfasst, muss einer Potenz der Zahl 2 entsprechen, also 1, 2, 4, 8, 16, ...
  • die Zusammenfassung kann auch über die Ränder des Diagramms hinausgehen, also z.B. Feld 3 und 7, oder 6 und 14
  • alle zusammengehörenden Felder sollten über jeweils eine 2-Eingangs-AND-Logik geschalten werden können (solange die Eingangsanzahl kleiner 5 ist - Einzelfelder benötigen hier bereits eine 3-Eingangs-AND-Logik

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

 
Karnaug-Veitch-Diagramm für n=6
Zeile x5 x4 x3 x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 0 0 0 00H
2. 0 0 0 0 0 1 01H
3. 0 0 0 0 1 0 02H
4. 0 0 0 0 1 1 03H
5. 0 0 0 1 0 0 04H
6. 0 0 0 1 0 1 05H
7. 0 0 0 1 1 0 06H
8. 0 0 0 1 1 1 07H
9. 0 0 1 0 0 0 08H
10. 0 0 1 0 0 1 09H
11. 0 0 1 0 1 0 0AH
12. 0 0 1 0 1 1 0BH
13. 0 0 1 1 0 0 0CH
14. 0 0 1 1 0 1 0DH
15. 0 0 1 1 1 0 0EH
16. 0 0 1 1 1 1 0FH
17. 0 1 0 0 0 0 10H
18. 0 1 0 0 0 1 11H
19. 0 1 0 0 1 0 12H
20. 0 1 0 0 1 1 13H
21. 0 1 0 1 0 0 14H
22. 0 1 0 1 0 1 15H
23. 0 1 0 1 1 0 16H
24. 0 1 0 1 1 1 17H
25. 0 1 1 0 0 0 18H
26. 0 1 1 0 0 1 19H
27. 0 1 1 0 1 0 1AH
28. 0 1 1 0 1 1 1BH
29. 0 1 1 1 0 0 1CH
30. 0 1 1 1 0 1 1DH
31. 0 1 1 1 1 0 1EH
32. 0 1 1 1 1 1 1FH
33. 1 0 0 0 0 0 20H
34. 1 0 0 0 0 1 21H
35. 1 0 0 0 1 0 22H
36. 1 0 0 0 1 1 23H
37. 1 0 0 1 0 0 24H
38. 1 0 0 1 0 1 25H
39. 1 0 0 1 1 0 26H
40. 1 0 0 1 1 1 27H
41. 1 0 1 0 0 0 28H
42. 1 0 1 0 0 1 29H
43. 1 0 1 0 1 0 2AH
44. 1 0 1 0 1 1 2BH
45. 1 0 1 1 0 0 2CH
46. 1 0 1 1 0 1 2DH
47. 1 0 1 1 1 0 2EH
48. 1 0 1 1 1 1 2FH
49. 1 1 0 0 0 0 30H
50. 1 1 0 0 0 1 31H
51. 1 1 0 0 1 0 32H
52. 1 1 0 0 1 1 33H
53. 1 1 0 1 0 0 34H
54. 1 1 0 1 0 1 35H
55. 1 1 0 1 1 0 36H
56. 1 1 0 1 1 1 37H
57. 1 1 1 0 0 0 38H
58. 1 1 1 0 0 1 39H
59. 1 1 1 0 1 0 3AH
60. 1 1 1 0 1 1 3BH
61. 1 1 1 1 0 0 3CH
62. 1 1 1 1 0 1 3DH
63. 1 1 1 1 1 0 3EH
64. 1 1 1 1 1 1 3FH

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0
    0 1 1 0 0 1 1 0
x1 0 00H 01H 05H 04H 14H 15H 11H 10H 0 x3 0 x5
x1 1 02H 03H 07H 06H 16H 07H 13H 12H 0 x3 0 x5
1 1 0AH 0BH 0FH 0EH 1EH 1FH 1BH 1AH 1 x3 0 x5
x1 0 08H 09H 0DH 0CH 1CH 1DH 19H 18H 1 x3 0 x5
x1 0 28H 29H 2DH 2CH 3CH 3DH 39H 38H 1 x3 1 x5
x1 1 2AH 2BH 2FH 2EH 3EH 3FH 3BH 3AH 1 x3 1 x5
x1 1 22H 23H 27H 26H 36H 37H 33H 32H 0 x3 1 x5
x1 0 20H 21H 25H 24H 34H 35H 31H 30H 0 x3 1 x5
    0 0 1 1 1 1 0 0
    x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2
    0 0 0 0 1 1 1 1
    x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 6-Eingangs-Logiken

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

 
Karnaug-Veitch-Diagramm für n=7
Zeile x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 0 0 0 0 00H
2. 0 0 0 0 0 0 1 01H
3. 0 0 0 0 0 1 0 02H
4. 0 0 0 0 0 1 1 03H
5. 0 0 0 0 1 0 0 04H
6. 0 0 0 0 1 0 1 05H
7. 0 0 0 0 1 1 0 06H
8. 0 0 0 0 1 1 1 07H
9. 0 0 0 1 0 0 0 08H
10. 0 0 0 1 0 0 1 09H
11. 0 0 0 1 0 1 0 0AH
12. 0 0 0 1 0 1 1 0BH
13. 0 0 0 1 1 0 0 0CH
14. 0 0 0 1 1 0 1 0DH
15. 0 0 0 1 1 1 0 0EH
16. 0 0 0 1 1 1 1 0FH
17. 0 0 1 0 0 0 0 10H
18. 0 0 1 0 0 0 1 11H
19. 0 0 1 0 0 1 0 12H
20. 0 0 1 0 0 1 1 13H
21. 0 0 1 0 1 0 0 14H
22. 0 0 1 0 1 0 1 15H
23. 0 0 1 0 1 1 0 16H
24. 0 0 1 0 1 1 1 17H
25. 0 0 1 1 0 0 0 18H
26. 0 0 1 1 0 0 1 19H
27. 0 0 1 1 0 1 0 1AH
28. 0 0 1 1 0 1 1 1BH
29. 0 0 1 1 1 0 0 1CH
30. 0 0 1 1 1 0 1 1DH
31. 0 0 1 1 1 1 0 1EH
32. 0 0 1 1 1 1 1 1FH
33. 1 1 0 0 0 0 0 20H
34. 1 1 0 0 0 0 1 21H
35. 1 1 0 0 0 1 0 22H
36. 1 1 0 0 0 1 1 23H
37. 1 1 0 0 1 0 0 24H
38. 1 1 0 0 1 0 1 25H
39. 1 1 0 0 1 1 0 26H
40. 1 1 0 0 1 1 1 27H
41. 1 1 0 1 0 0 0 28H
42. 1 0 0 1 0 0 1 29H
43. 1 0 0 1 0 1 0 2AH
44. 1 0 0 1 0 1 1 2BH
45. 1 0 0 1 1 0 0 2CH
46. 1 0 0 1 1 0 1 2DH
47. 1 0 0 1 1 1 0 2EH
48. 0 0 0 1 1 1 1 2FH
49. 0 0 1 0 0 0 0 30H
50. 0 0 1 0 0 0 1 31H
51. 0 0 1 0 0 1 0 32H
52. 0 0 1 0 0 1 1 33H
53. 0 0 1 0 1 0 0 34H
54. 0 0 1 0 1 0 1 35H
55. 0 0 1 0 1 1 0 36H
56. 0 0 1 0 1 1 1 37H
57. 0 0 1 1 0 0 0 38H
58. 0 0 1 1 0 0 1 39H
59. 0 0 1 1 0 1 0 3AH
60. 0 0 1 1 0 1 1 3BH
61. 0 0 1 1 1 0 0 3CH
62. 0 0 1 1 1 0 1 3DH
63. 0 0 1 1 1 1 0 3EH
64. 0 0 1 1 1 1 1 3FH

Vorgegebene Logiktabelle

    x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 x0
    0 1 0 0 1 0 1 0
x1 0 00H 01H 05H 00H 01H 05H 04H 04H 0 x3
x1 1 02H 03H 07H 02H 03H 07H 06H 06H 1 x3
x1 0 0AH 0BH 0FH 0AH 0BH 0FH 0EH 0EH 1 x3
x1 1 08H 09H 0DH 08H 09H 0DH 0CH 0CH 0 x3
x1 1 00H 01H 05H 00H 01H 05H 04H 04H 0 x3
x1 0 02H 03H 07H 02H 03H 07H 06H 06H 1 x3
x1 1 0AH 0BH 0FH 0AH 0BH 0FH 0EH 0EH 1 x3
x1 0 08H 09H 0DH 08H 09H 0DH 0CH 0CH 0 x3
    0 0 1 1 1 1 0 0
    x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2 x2

Resultierende Karnaugh-Veitch-Tafel für 6-Eingangs-Logiken

 

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

 


3. Eintragen der logischen Funktionen in KV-Diagramme history menue scroll up
Das Karnaugh-Veitch-Diagramm ist primär nichts anderes, als eine andere (eigentlich sogar kürzere!) Schreibweise der Wertetabelle einer logischen Funktion. Felder werden eigentlich nur noch für die Ergebnisse der Funktion vorgesehen - und das sind immer so viele, wie die Funktion maximale Schaltkombinationen hat.
Beispiel 1:
jjghjghj
a b c d x
0 1 0 1 1
1 1 1 0 1
1 0 1 1 1
0 0 0 1 1
alle übrigen 0

 

Übertragen Sie aus nebenstehender Wertetabelle die Schaltkombinationen, die x = 1 liefern, in ein Karnaugh-Diagramm!
Lösung: Das Karnaugh-Diagramm hat 24 = 16 Felder Für die erste Zeile der Wertetabelle a b c d sucht man im Diagramm das Feld, welches keine a-Markierung (Felder 1 bis 8), welches b-Markierung (verbleiben Felder 3, 4, 7, 8), welches keine c-Markierunc (verbleiben Felder 4, 8) und welches d-Markierunc (verbleibt Feld 8) enthält. Entsprechend überträg man die restlichen Zeilen der Wertetabelle.
Jeder Zeile der Wertetabelle entspricht ein Feld im KV-Diagramm. Die Streifen für die Variablen (a, b, c, d) können im KV-Diagramm auch anders liegen, z. B. a mit d getauscht.
Beispiel 2:
Zeile x3 x2 x1 x0 y HEX-Code
1. 0 0 0 0 0 00H
2. 0 0 0 1 0 01H
3. 0 0 1 0 0 02H
4. 0 0 1 1 0 03H
5. 0 1 0 0 0 04H
6. 0 1 0 1 0 05H
7. 0 1 1 0 1 06H
8. 0 1 1 1 1 07H
9. 1 0 0 0 0 08H
10. 1 0 0 1 0 09H
11. 1 0 1 0 0 0AH
12. 1 0 1 1 0 0BH
13. 1 1 0 0 1 0CH
14. 1 1 0 1 0 0DH
15. 1 1 1 0 1 0EH
16. 1 1 1 1 0 0FH

Gegebene Tabelle

komplette Zuordnung in Karnaugh-Veitch-Tafel

hier die Original-CAD-Zeichnung dazu

Wandeln Sie die für die vier Eingangsvariablen x0, x1, x2, x3 gegebene vollständige Wertetabelle der Schaltzustände (Tabelle oben sowie Bild links) in ein Karnaugh-Diagramm um!
Lösung: Man zeichnet das Karnaugh-Diagramm mit 16 Feldern und überträgt aus der Wertetabelle der Schaltzustände in das Diagramm die Werte 1 bei solchen Kombinationen der Eingangsvariablen, bei denen s = 1 wird.
Die Minimierung einer Schaltfunktion kann direkt dem Karnaugh-Diagramm entnommen werden. Dazu fasst man benachbarte Felder, die jeweils den Wert 1 haben, zu Blöcken zusammen. Die Zusammenfassung muss immer so erfolgen, dass ein Block 2, 4 oder 8 Felder enthält, die ein Rechteck oder ein Quadrat bilden. Benachbarte Felder (siehe Zuordnung unter Punkt 4.) sind auch Felder der letzten und der ersten Zeile und der letzten und der ersten Spalte. Die einzelnen Felder dürfen auch in mehreren Zusammenfassungen vorkommen (siehe Punkt 4).

Komplettlösung für Beispiel 3


4. Auswerten von Karnaugh-Veitch-Tafeln history menue scroll up
Maximal zusammengefasst werden minimal benachbarte Felder (so schön hab' ich das in keiner Definition gefunden). Die Zusammenfassung muss immer so erfolgen, dass ein Block 1, 2, 4 oder 8 Felder enthält, die ein Rechteck oder ein Quadrat bilden und deren Gesamtanzahl geradzahlig ist (außer 1!!!). Benachbarte Felder sind auch Felder der letzten und der ersten Zeile und der letzten und der ersten Spalte. Die einzelnen Felder dürfen auch in mehreren Zusammenfassungen vorkommen.

Mögliche Zusammenfassung zu Blöcken

Mögliche Zusammenfassung zu Blöcken

Mögliche Zusammenfassung zu Blöcken

Mögliche Zusammenfassung zu Blöcken

Mögliche Zusammenfassung zu Blöcken

hier die Original-CAD-Zeichnungen dazu

Jede Zusammenfassung im Karnaugh-Diagramm soll möglichst viele Felder enthalten. Die Zahl der Zusammenfassungen soll möglichst klein sein. Jede Zusammenfassung (Block) bildet ein Glied der gesuchten Schaltfunktion. Die Variablen, die innerhalb des Blocks ihren Zahlenwert nicht ändern, werden miteinander durch die UND-Funktion verknüpft. Die sich ergebenden Terme der Blöcke verknüpft man durch die ODER-Funktion. Diese schaltalgebraische Gleichung ist die reduzierte Schaltfunktion. Die Zusammenfassung der Felder mit dem Wert 1 im Karnaugh-Diagramm liefert die reduzierte Schaltfunktion für die Ausgangsvariable s. Überwiegen im Diagramm die Felder mit dem Wert 1, so ist es zweckmäßig durch Blockbildung der Felder mit dem Wert 0 den Wert s der Ausgangsvariablen zu ermitteln. Durch nochmaliges Negieren von s erhält man dann den Wert s der Ausgangsvariablen.
  • wenn benachbarte Felder eine 1 enthalten, werden sie zusammengefasst
  • diese Zusammenfassung darf keine Nullen enthalten
  • die Zusammenfassungen müssen Rechtecke sein
  • die Gruppen dürfen sich überlappen
  • eine Gruppe darf nicht vollständig von einer anderen Gruppe umschlossen werden
  • die Anzahl der Felder die man zusammenfasst, muss einer Potenz der Zahl 2 entsprechen, also 1, 2, 4, 8, 16, ...
  • die Zusammenfassung kann auch über die Ränder des Diagramms hinausgehen, also z.B. Feld 3 und 7, oder 6 und 14
  • alle zusammengehörenden Felder sollten über jeweils eine 2-Eingangs-AND-Logik geschalten werden können (solange die Eingangsanzahl kleiner 5 ist - Einzelfelder benötigen hier bereits eine 3-Eingangs-AND-Logik
2n Karnough-Tafel als Lösungswerkzeug 3n Karnough-Tafel als Lösungswerkzeug 4n Karnough-Tafel als Lösungswerkzeug 5n Karnough-Tafel als Lösungswerkzeug

Lösungsschablone ein 2n-Feld

Lösungsschablone im CorelDraw 11.0-Format

Lösungsschablone ein 3n-Feld

Lösungsschablone im CorelDraw 11.0-Format

Lösungsschablone ein 4n-Feld

Lösungsschablone im CorelDraw 11.0-Format

Lösungsschablone ein 5n-Feld

Lösungsschablone im CorelDraw 11.0-Format

6n Karnough-Tafel als Lösungswerkzeug      

Lösungsschablone ein 6n-Feld

Lösungsschablone im CorelDraw 11.0-Format

     

5. Verwandte Themen history menue scroll up

Hat schon diese Site viel mit Logik zu tun, so kann's auf einer der folgenden damit noch happiger werden. Mich beeindruckt dabei immer wieder, wie man unter dem unwissenden Volk (das bist Du, der Du erarbeitend bis zu diesem Punkte gelangt bist, schon lange nicht mehr!) mit den Wörtchen "und", "oder" und "nicht" evtl. gespickt mit den Regeln der Schachtelung sowie Relationenalgebra Verwirrung stiften kann. Wer's nicht glaubt, löst die Aufgaben unter dem dritten Verweis - aber bitte alle - und das schnell ;-)

Praktischer Entwurf von Logikschaltungen

   

Logikfunktionen und technologische Fertigungsverfahren

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Beschreibung des Eingangssignalverhaltens für die Party-Aufgabe

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EPROM-Logik

1 aus n-Decoder

Multiplexer

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Bool'sches Aussagenkalkül

de Morgan'schen Theoreme

Logikschaltungen mit Relais - die hohe Schule


6. Übungsaufgaben zu KV-Diagrammen history menue scroll up
Alle der nachfolgenden Aufgaben beziehen irgendwie die logische Zuordnung und/oder kanonische Normalformen in die Lösungsstrategien ein (wenngleich das auch prinzipiell anders geht). Dabei liefern die KV-Diagramme, wenn überhaupt möglich (also Blöcke gebildet werden können ) von vornherein eine fast optimierte Lösung.

Michael Krasselts Extrem-Logik von 2012/2013

Zeile x3

x2

x1 x0 y1 y0
1. 0 0 0 0 1 0
2. 0 0 0 1 1 0
3. 0 0 1 0 1 0
4. 0 0 1 1 1 0
5. 0 1 0 0 1 1
6. 0 1 0 1 0 0
7. 0 1 1 0 0 0
8. 0 1 1 1 0 1
9. 1 0 0 0 0 0
10. 1 0 0 1 1 1
11. 1 0 1 0 0 1
12. 1 0 1 1 1 1
13. 1 1 0 0 0 0
14. 1 1 0 1 1 0
15. 1 1 1 0 0 1
16. 1 1 1 1 0 1

Logik-Aufgaben 2012 - die Übung


7. Linksammlung zu KV-Diagrammen history menue scroll up
Das Verfahren an sich ist noch nicht all zu alt, hataber an allen einschlägigen Studiengängen weltweit Eingang gefunden, welche sich nur annähernd damit befassen. Das sind schon einmal alle ingeieurwissenschaftlichen Disziplinen - komischerweise jedoch nicht Mathematik und auch nicht Kerninformatik.
http://www.vias.org/mikroelektronik/dig_karnaughveitch.html
 


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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost im Oktober 2006

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehemn ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

Diese Seite wurde ohne Zusatz irgendwelcher Konversationsstoffe erstellt ;-)