6.2. Schaltalgebra mit Schaltnetzen - Kanonische Normalformen history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 26.01.19 08:57:32
Die kanonischen Normalformen liefern Schaltfunktionen f(x), wobei an jedem Minterm eine Schaltung S liegt, die für den Ausgang 0 oder 1 erzeugt und deren Minterme logisch nicht reduziert sind. Durch die Anwendung der Verfahren zur Vereinfachung von Ausdrücken kann die Normalform auf ein jeweils mögliches Extrem gekürzt werden.
1. Schaltungsanalyse und -Synthese
2. Kanonisch disjunktive Normalform
3. Kanonisch konjunktive Normalform
4. Komplexaufgabe mit Zusammenfassen zu Minimalformen (... mit Mischa's Extrem-Logik)
5. Übungsaufgaben zu den Normalformen
6. Verwandte Themen
7. Links und "rechts" von mir ;-)

die Elektronikseiten

Logo der Kanonischen Normalformen

inhaltlich auf korrektem Stand - evtl. partiell unvollständig ;-)

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik

Vortrag zu Logic-Traffic von Ruedi Arnold gehalten an der TU-Dresden am 31.3.07

... das ZIP-Archiv komplett auspacken und die .EXE-Datei starten

LogicTraffic

Logic Traffic

QueueTraffic

Queue-Traffic

Aufgabenfeld zu Logic-Traffic

Schaltwerke sind hochkomplexe kombinatorische Schaltungen - sie werden durch Analyse der Eingangsbelegungen bezogen auf den aktiven Ausgang sowie anschließende Synthese (logische Verknüpfung der herausgefundenen Minterme in entsprechnder Form) gewonnen

Übergang AND-OR mit Negatoren

Übergang AND-OR ohne Negatoren

damit spielen folgende  Schaltkreistypen mit den logischen Grundfunktionen eine besondere Rolle:

Gesamtübersicht über Bool'sche Grundfunktionen

 
Eingangsgrößen AND OR NAND NOR Exclusiv-OR Äquivalenz
 
  a und b a oder b nicht a und nicht b nicht (a oder b) (nicht a und b) oder (a und nicht b) (nicht a und nicht b) oder (a und b)
L L
L H
H L
H H

L

L
L
H
L
H
H
H
H
H
H
L
H
L
L
L
L
H
H
L
H
L
L
H
         


1. Schaltungsanalyse und -Synthese am Beispiel history menue scroll up

Unter der Analyse einer Schaltung versteht man das Problem, für eine gegebene Schaltung anzugeben, bei welchen Schaltstellungen die Schaltung elektrisch leitend bzw. nicht leitend ist. Die Analyse wird durch folgende Schritte realisiert:

  1. Zur gegebenen Schaltung wird der zugeordnete logische Ausdruck H aufgestellt.
  2. Der Ausdruck H Wird äquivalent in die kanonische alternative Normalform K überführt
  3. Die kanonische alternative Normalform K von H liefert eine Übersicht über alle Belegungen, für die K (und damit auch H) den Wert W annimmt und folglich auch über alle Schaltstellungen, für welche die gegebene Schaltung elektrisch leitend ist.
Beispiel. Der zu einer gegebenen Reihenparallelschaltung zugehörige Ausdruck H laute

H = ((((a v b) n c) v (c n d)) A b)

bzw.

H = (a v b) bc v äbc, 
H = Abc v abc = K; 
daher ist die gegebene Schaltung für die Schaltstellungen 
a) A ausgeschaltet, B, C eingeschaltet sowie

b) A, B, C eingeschaltet

elektrisch leitend und für alle übrigen Schaltstellungen nicht leitend. Die Synthese beinhaltet die Aufgabe, eine Schaltung zu suchen, die vorgegebene Eigenschaften besitzt, Die Synthese, die gleichbedeutend mit der Aufgabe ist, einen Ausdruck H zu suchen, der zu vorgegebenen Belegungen den Wert W annimmt, wird wie folgt realisiert:

1. Es wird die kanonische alternative Normalform K aufgestellt, die genau bei den angegebenen Belegungen den Wert W annimmt.
2. Durch den Übergang von K zur zugeordneten Reihenparallelschaltung entsteht eine Schaltung, welche die 
Jeder Reihenparallelschaltung wird eindeutig eine verneinungstechnische Normalform zugeordnet und umgekehrt. Zum Begriff der verneinungstechnischen Normalform siehe


2. Kanonisch disjunktive Normalform history menue scroll up

Die Kanonisch disjunktive Normalform liefert Schaltfunktionen f, wobei an jedem Minterm eine Schaltung S liegt, die für den Ausgang 1 erzeugt. Sie wird genau dann eingesetzt, wenn die Anzahl der logischen Einsen an einem Ausgang größer, als die Anzahl der logischen Nullen ist.
Nur alle die Funktionen, für die y=f(x0 ... xn) den Wert 1 führt, sind für die weitere Analyse von Belang
  • die Kanonisch disjunktive Normalform liefert Schaltfunktionen f, wobei an jedem Minterm eine Schaltung S liegt, die für den Ausgang 1 erzeugt
  • angewandt, wenn mehr logische 1 als logische 0 in der jeweiligen Schaltfunktion des Minterms
  • fasse nur alle die Terme zusammen, deren Schaltfunktion "1" für den betreffenden Ausgang ergibt
  • setze alle Eingänge des betreffenden Terms direkt und verknüpfe sie mit der AND-Funktion
tabellarische Darstellung logische Funktion
n=3 x2 x1 x0 f(x)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
  • ausschließlich die Terme mit logischer 1 für f(x) werden einbezogen
  • Minterm der logischen Variablen x0 ... xn
  • UND-Verknüpfung der negierten oder nichtnegierten Variablen x0 ... xn
  • Minterm von f sind alle Minterme, für die die Schaltfunktion f den Wert 1 annimmt
  • Darstellung von f als ODER-Verknüpfung aller Minterme von f => Kanonisch disjunktive Normalform
  • bezogen auf das Beispiel ergibt das:

Logikschaltung in ungekürzter kanonisch disjunktiver Normalform

  • alle auf 0 gesetzten Eingänge sind negiert dargestellt
  • ... und nun wird disjunktiv (... also mit ODER) verknüpft
Schaltlogik liegt in der ersten Form in der Kanonischen Normalform vor - also alle möglichen Kombinationen sind erfasst
nur alle die Funktionen, für die f den Wert 1 führt, sind für die weitere Analyse von Belang
Einzelvariablen für x werden UND-verknüpft wobei 0 gesetzte Eingänge negiert werden
alle auf 1 gesetzten Zeilen f(x) werden ODER-verknüpft
Ab welchem Punkt hier nun aus der Schaltungssynthese schon ein Schaltwerk geworden ist, darüber darf man sich streiten - theoretisch erst mit dem wirklichen Funktionieren einer logischen Schaltung implementiert mit integrierten Schaltkreisen (oder Relais). Praktisch muss man aber wohl schon die funktionierende Schaltung realisiert mit Profilab als Schaltwerk akzeptieren.

Logikplan resultierend aus der kanonisch disjunktiven Normalform

Logikplan resultierend aus der kanonisch disjunktiven Normalform mit aufgelösten Negator-Eingängen

 

Logikplan resultierend aus der kanonisch disjunktiven Normalform mit aufgelösten Logik-Bauelementen (Beispiel - es gibt andere richtige Lösungen)

Kanonisch disjunktive Normalform

Kanonisch disjunktive Normalform als ProfiLab 3.0-Datei


3. Kanonisch konjunktive Normalform history menue scroll up
Die Kanonisch konjunktive Normalform liefert Schaltfunktionen f, wobei an jedem Minterm eine Schaltung S liegt, die für den Ausgang 0 erzeugt. Sie wird genau dann eingesetzt, wenn die Anzahl der logischen Nullen an einem Eingang größer, als die Anzahl der logischen Einsen ist.
Nur alle die Funktionen, für die y=f(x0 ... xn) den Wert 0 führt, sind für die weitere Analyse von Belang
  • die Kanonisch konjunktive Normalform liefert Schaltfunktionen f, wobei an jedem Minterm eine Schaltung S liegt, die für den Ausgang 0 erzeugt
  • angewandt, wenn mehr logische 0 als logische 1 in der jeweiligen Schaltfunktion des Minterms
  • fasse nur alle die Terme zusammen, deren Schaltfunktion "0" für den betreffenden Ausgang ergibt
  • negiere alle Eingänge des betreffenden Terms und verknüpfe sie mit der OR-Funktion
n=3 x2 x1 x0 f(x)
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0
  • ausschließlich die Terme mit logischer 0 für f(x) werden einbezogen
  • Minterm der logischen Variablen x0 ... xn
  • negierte ODER-Verknüpfung der negierten oder nichtnegierten Variablen x0 ... xn
  • Minterm von f sind alle Minterme, für die die Schaltfunktion f den Wert 0 annimmt
  • Darstellung von f als UND-Verknüpfung aller Minterme von f => Kanonisch konjunktive Normalform
  • bezogen auf das Beispiel ergibt das:

Logikschaltung in ungekürzter kanonisch konjunktiver Normalform

  • alle auf 0 gesetzten Eingänge sind negiert dargestellt
  • ... und nun wird konjunktiv (... also mit UND) verknüpft
Schaltlogik liegt in der ersten Form in der Kanonischen Normalform vor - also alle möglichen Kombinationen sind erfasst
nur alle die Funktionen, für die f den Wert 0 führt, sind für die weitere Analyse von Belang
Einzelvariablen für x werden negiert sowie anschließend ODER-verknüpft
alle auf 0 gesetzten Zeilen f(x) werden UND-verknüpft

Logikplan resultierend aus der kanonisch konjunktiven Normalform

Logikplan resultierend aus der kanonisch konjunktiven Normalform mit aufgelösten Negator-Eingängen

 

Logikplan resultierend aus der kanonisch konjunktiven Normalform mit aufgelösten Logik-Bauelementen (Beispiel - es gibt andere richtige Lösungen)

 

Kanonisch konjunktive Normalform

Kanonisch konjunktive Normalform als ProfiLab 3.0-Datei


4. Komplexaufgabe mit Zusammenfassung zu Minimalformen history menue scroll up

Mittels der kanonischen Normalformen erhalte ich eine sinnvolle und in sich funktionstüchtige Lösung. Bei mehreren Ausgängen auf gleicher Eingangslogik werden einfach mehrere Schaltungen entwickelt und diese anschließend mit den Eingängen verbunden. Die Entscheidung, ob kanonisch dijunktiv oder konjunktiv entwickelt wird, hängt von der Anzahl der logischen "Einsen" am jeweiligen Ausgang ab - folgrichtig sind bei mehreren Ausgängen mit unterschiedlichen Aufkommen an logischen "Einsen" am jeweiligen Ausgang also auch Mischformen denkbar und werden dann auch so realisiert.
Beispiel 1:

Für folgende Schalttabelle soll die kanonisch disjunktive sowie die kanonisch konjunktive Normalform gesucht werden:

Zeile

a

b c y
1. 0 0 0 0
2. 0 0 1 0
3. 0 1 0 1
4. 0 1 1 1
5. 1 0 0 0
6. 1 0 1 0
7. 1 1 0 1
8. 1 1 1 0

Entwicklung der Kanonischen Normalformen

Dateidownload im Word-Format

realisiert als ProfiLab 3.0-Projekt

Dateidownload als Profi-Lab 3.0 Datei


Beispiel 2:

Eine Lampe soll von drei verschiedenen Schaltern A, B und C geschaltet werden können. die Lampe soll leuchten, wenn alle Schalter ausgeschaltet sind, oder wenn A und B ausgeschaltet und C eingeschaltet sind, oder wenn A eingeschaltet und B und C ausgeschaltet sind, oder wenn A und B eingeschaltet und C ausgeschaltet sind.

  • stellen Sie die vollständige Wertetabelle auf!
  • entnehmen Sie daraus die ODER-Normalform der Schaltfunktion s!
  • reduzieren Sie die Normalform mit den Regeln der Schaltalgebra!
  • geben Sie die Schaltung mit kontaktlosen Schaltelementen an!
Zeile

A

B C Y
1. 0 0 0 1
2. 0 0 1 1
3. 0 1 0 0
4. 0 1 1 0
5. 1 0 0 0
6. 1 0 1 1
7. 1 1 0 1
8. 1 1 1 0

Analyse und Synthese der kanonisch konjunktiven Normalformen

Dateidownload im Word-Format

Dateidownload als Profi-Lab 3.0 Datei


Beispiel 3:

Mischa's Extrem-Logik - da haben wir mal gespielt und Karnaugh-Tafeln sowie den verstand benutzt

... einmal als Abbildung

... hier geht's zur Seite

Michael Krasselts Extrem-Logik von 2012/2013

Michael Krasselts Extrem-Logik von 2012/2013


5. Übungsaufgaben zu den Kanonischen Normalform history menue scroll up

Alle der nachfolgenden Aufgaben beziehen irgendwie die logische Zuordnung und/oder kanonische Normalformen in die Lösungsstrategien ein (wenngleich das auch prinzipiell anders geht).

Aufgaben zur Logikentwicklung

Zeile

x2

x1 x0 y1 y0
1. 0 0 0 1 0
2. 0 0 1 1 1
3. 0 1 0 0 1
4. 0 1 1 0 0
5. 1 0 0 1 1
6. 1 0 1 0 0
7. 1 1 0 1 0
8. 1 1 1 0 1
... eine erste Übung 4 Eingänge und 2 Ausgänge  

erste Übung mit vier Ein- sowie zwei Ausgängen

komplexes Lösungsmuster
Übungen zur kanonisch disjunktiven Normalform (mehr "Nullen" als "Einsen" auf der Ausgangsseite)

Logiktabelle mit 5 Eingängen und 4 Ausgängen für kanonisch disjunktive Normalform - hier kann man eine eigene Schaltbelegung nach kanonisch disjunktiver Normalform entwickeln

Sauschwere Logiktabelle mit 5 Eingängen und 4 Ausgängen sowie kompletter Lösungsstratgegie

Sauschwere Logiktabelle mit 5 Eingängen und 4 Ausgängen ohne jeden weiteren Hinweis - also mach mal!

Übungen zur kanonisch konjunktiven Normalform (mehr "Einsen" als "Nullen" auf der Ausgangsseite)

Logiktabelle mit 5 Eingängen und 4 Ausgängen für kanonisch disjunktive Normalform - hier kann man eine eigene Schaltbelegung  nach kanonisch konjunktiver Normalform entwickeln

Sauschwere Logiktabelle mit 5 Eingängen und 4 Ausgängen sowie kompletter Lösungsstratgegie

Sauschwere Logiktabelle mit 5 Eingängen und 4 Ausgängen ohne jeden weiteren Hinweis - also mach mal!

In den gegebenen Aufgaben verstehen sich die nummerierten Stationen als binär am Eingang des jeweiligen Haltpunktes kodierte Erfassungszentralen. Ihr Logiksystem untersucht den jeweiligen Fahrschein, welcher die ebenfalls binär codierten Streckendaten auswertet, ob der Fahrschein an der Station gültig ist, oder nicht!
 

Aufgabe 4 entweder für alle Haltepunkte oder für genau einen definierten

Download des Originalplanes im DidCAD 4.0-Format

   


6. Verwandte Themen history menue scroll up

Hat schon diese Site viel mit Logik zu tun, so kann's auf einer der folgenden damit noch happiger werden. Mich beeindruckt dabei immer wieder, wie man unter dem unwissenden Volk (das bist Du, der Du erarbeitend bis zu diesem Punkte gelangt bist, schon lange nicht mehr!) mit den Wörtchen "und", "oder" und "nicht" evtl. gespickt mit den Regeln der Relationenalgebra Verwirrung stiften kann. Wer's nicht glaubt, löst die Aufgaben unter dem dritten Bleisitft.

logische Schaltsymbole

Logikfunktionen und technologische Fertigungsverfahren

Transistor-Kennlinienfeld

Beschreibung des Eingangssignalverhaltens für die Party-Aufgabe

Karnaugh-Veitch-Tafel für 4-Eingangs-Logiken

TTL-Liste

logische Arrays

EPROM-Logik

1 aus n-Decoder

Multiplexer

Bool'sches Aussagenkalkül

Kombinatorik-Projekt


7. Linkliste history menue scroll up

Und was tun andere in Sachen digitaler Logik? Nun, hier lassen wir den Blick einmal ein wenig schweifen, sehr wohl wissend, dass sich andere zu den Grundlagen hier informieren. Ist auch nur kurz verwunderlich: wer macht so etwas seit Zuses Tagen heute noch?: Klar! Wir!!!
Digitale Steuerung von Modellbahn-Anlagen - ein gefundenes Fressen für den ambitionierten Elektroniker von gestern und heute ...      

Digitalbahn

     



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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost im Oktober 2006

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehemn ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

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