6.1. Grundlagen der Schaltalgebra - Logische Zusammenfassungen history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 26.01.19 08:54:29
Basissatz der Schaltalgebra. Jede Bool'sche Funktion mit dem Definitionsbereich D=B* hat eine eindeutige Darstellung als Summe (Produkt) von Mintermen (Maxtermen).
1. Konstruktion von Rechenschaltungen mit Hilfe der Schaltalgebra
2. Gesetze und Verfahren zur Vereinfachung logischer Ausdrücke
3. Minimale Normalform
4. Schaltungsminimalisierung
5. Verwandte Themen

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begrenzt verwendbar - selbst aufpassen, ab welcher Stelle es Blödsinn wird ;-)

Wissen für Fortgeschrittene der Informatik

Schaltwerke sind hochkomplexe kombinatorische Schaltungen - sie werden durch Analyse der Eingangsbelegungen bezogen auf den aktiven Ausgang gewonnen

Gesamtübersicht über Bool'sche Grundfunktionen

Die Schaltfunktion 0 (a, b,..., m) spiegelt die elektrischen Eigenschaften einer gegebenen Reihenparallelschaltung in Abhängigkeit von den möglichen Schaltstellungen der Schaltelemente A, B,..., M wider. Jede der unabhängigen Variablen kann nur zwei Werte 0 oder 1 (0 bedeute, das bedienende Schaltelement ist ausgeschaltet; 1 bedeute, das bedienende Schaltelement ist eingeschaltet) annehmen, und der Wertebereich von S umfasst ebenfalls nur zwei Werte 0 und 1 (d. h. 0, falls die Schaltung für die jeweilige Schaltstellung nicht leitend ist, und 1 sonst).

Geometrische Deutung.

Der Definitionsbereich einer Schaltfunktion 0 von n Variablen entspricht den Ecken des n-dimensionalen Einheitswürfels. Bei n Schaltelementen existieren 2n verschiedene Schaltfunktionen. Jeder Schaltung ist eindeutig eine Schaltfunktion zugeordnet, aber nicht umgekehrt.

Logische Beschreibung der Schaltungen

Vorschrift für eine umkehrbar eindeutige Zuordnung zwischen der Menge der Reihenparallelschaltungen und einer Teilmenge der Menge aller logischen Ausdrücke:

1. Der immer leitenden Schaltung entspricht die logische Konstante W (true oder 1)

2. Der niemals leitenden Schaltung entspricht die logische Konstante F (false oder 0) 

3. Dem Arbeitskontakt a entspricht die Aussagenvariable a.

4. Dem Ruhekontakt a entspricht die negierte Aussagenvariable ä.

5. Der Hintereinanderschaltung zweier Reihenparallelschaltungen entspricht die Konjunktion (Hl n HZ) der den Teilschaltungen zugeordneten Ausdrücke H, und HZ.

6. Der Parallelschaltung zweier Reihenparallelschaltungen entspricht die Alternative (H, v 1 der den Teilschaltungen zugeordneten Ausdrücke H, und HZ.

Beispiele.

1. Der Reihenparallelschaltung in Abb. 10.8 entspricht der logische Au H - ((((a v b) A c) v (c n d)) n b).

2. Den Reihenparallelschaltungen in Abb. 10.9 bzw. x0.10 entspricht der Ausdruck Hr = (a v bzw. der Ausdruck HZ = (a v (d n b)).

Jeder Schaltstellung, in der sich eine gegebene Schaltung befinden kann, wird eine Belegung der Aussagenvariäblen mit Wahrheitswerten zugeordnet. Die Zuordnung wird ihr folgender Wert getroffen: Ist das Schaltelement A eingeschaltet, so werde die Aussagenvariable a mit dem logische Wert W belegt; ist es ausgeschaltet, so werde die Aussagenvariable a mit dem logischen Wert F belegt.

Sätze über die Beziehungen zwischen Schaltung und zugeordnetem Ausdruck:

1. Eine Reihenparallelschaltung ist bei einer speziellen Schaltstellung genau dann elektrisch leitend, wenn der zugeordnete Ausdruck bei der der Schaltstellung zugeordneten Belegung den Wert W besitzt.

2. Zwei Reihenparallelschaltungen sind genau dann elektrisch gleichwertig (und können durch einander ersetzt werden); wenn die beiden zugeordneten Ausdrücke äquivalent (vgl. 4.1.1.2.) sind. 
10.4.1.4. Analyse und Synthese

Unter der Analyse einer Schaltung versteht man das Problem, für eine gegebene Schaltung anzugeben, bei welchen Schaltstellungen die Schaltung elektrisch leitend bzw. nichtleitend ist. Die Analyse wird durch folgende Schritte realisiert:

1. Zur gegebenen Schaltung wird der zugeordnete logische Ausdruck H aufgestellt.

2. Der Ausdruck H Wird äquivalent in die kanonische alternative Normalform K (vgl. 4.1.1.1.) 
überführt.

3. Die kanonische alternative Normalform K von H liefert eine Übersicht über alle Belegungen, 
für,die K (und damit auch H) den Wert W annimmt (vgl. 4.1.1.2.), und folglich auch über alle 
Schaltstellungen, für welche die gegebene Schaltung elektrisch leitend ist. - 
Beispiel. Der zu einer gegebenen Reihenparallelschaltung (Abb. 10.8) zugehörige Ausdruck H 
laute

H = ((((a v b) n c) v (c n d)) A b)

bzw.

H = (a v b) bc v äbc, 
H = Abc v abc = K; 
daher ist die gegebene Schaltung für die Schaltstellungen 
a) A ausgeschaltet, B, C eingeschaltet sowie

b) A, B, C eingeschaltet

elektrisch leitend und für alle übrigen Schaltstellungen nichtleitend. ' 
Die Synthese beinhaltet die Aufgabe, eine Schaltung zu suchen, die vorgegebene Eigenschaften 
besitzt, Die Synthese, die gleichbedeutend mit der Aufgabe ist, einen Ausdruck H zu suchen, der zu 
vorgegebenen Belegungen den Wert W annimmt, wird wie folgt realisiert:

1. Es wird die kanonische alternative Normalform K aufgestellt, die genau bei den angegebenen Belegungen den Wert W annimmt.

2. Durch den Übergang von K zur zugeordneten Reihenparallelschaltung entsteht eine Schaltung, welche die 

Jeder Reihenparallelschaltung wird eindeutig eine verneinungstechnische Normalform zugeordnet und umgekehrt. Zum Begriff der verneinungstechnischen Normalform siehe

 

1. Konstruktion von Rechenschaltungen mit Hilfe der Schaltalgebra history menue scroll up
Schaltlogik liegt in der ersten Form in der Kanonisch disjunktiven bzw. konjunktiven Normalform vor. Dies ist eine immer richtige, wenngleich nur selten einfachste Form der praktischen Zusammenschaltung logischer Bedingungen.
 
Logikschaltungen mit Relais Schaltagebra mit ZEMANEK ... Logik-Programm

Logikschaltungen mit Relais

ZEMANEK's Aussagenlogik

... das ZIP-Archiv komplett auspacken und die .EXE-Datei starten


2. Gesetze und Verfahren zur Vereinfachung logischer Ausdrücke history menue scroll up
Durch logisches Entwickeln von Termen aus logischen Ausdrücken entstehen Minterme, welche viele Eingangsvariablen besitzen. Viele Terme und viele Eingangsvariablen machen aber logische Schaltwerke sehr komplex und fehlerträchtig. Also besteht das Bedürfnis zur Vereinfachung und Zusammenfassung solcher Minterme  zu logisch äquivalenten, aber eben kleineren Schaltwerken.

Übersicht zur Zusammenfassung und Verkürzung logischer Ausdrücke

Übersicht zur Zusammenfassung und Verkürzung logischer Ausdrücke

Gesetze zur Zusammenfassung logischer Funktionen
  Bezeichnung Logische Beschreibung Ersatzschaltungen
  Assoziativgesetz a

AND-Assoiativ-Gesetz als ProfiLab 3.0-Datei

  Assoziativgesetz  

OR-Assoiativ-Gesetz als ProfiLab 3.0-Datei

  Kommutativgesetz  

AND-Kommuntativ-Gesetz als ProfiLab 3.0-Datei

  Kommutativgesetz  

OR-Kommuntativ-Gesetz als ProfiLab 3.0-Datei

  Distributivegesetze  

AND-Distributiv-Gesetz als ProfiLab 3.0-Date


5. Verwandte Themen history menue scroll up

Logik ist ja nun ein weites Feld und besetzt damit auch einen weiten Bereich innerhalb der Technischen Informatik. Dem muss ja nun auch irgendwie Rechnung getragen werden - dies nun soll durch einige Querverweise geschehen.

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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost im August 2001

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus nicht mehr teilzunehemn ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

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