10.1. Chaos-Theorie history menue Letztmalig dran rumgefummelt: 27.04.15 17:24:58

Das Wort Chaos kommt ursprünglich aus dem Griechischen und ist wörtlich mit "Gähnender Schlund, Klaffende Leere" oder "Abgrund" zu übersetzen. Schon in der Antike griffen Philosophen das Thema Chaos auf und sahen in ihm den Gegenspieler für das Gute. Demnach war der Schöpfungsakt eines Gottes das Ordnen des Chaos.

  • wenn auf Hawaii ein Schmetterling mit den Flügeln schlägt, gibt es drei Wochen später einen Wirbelsturm im mittleren Westen der USA

  • "Ordnung ist ein Hilfsmittel der Unintelligenten"

1. Chaos-Definitionen
2. Chaostheorie
3. Was sich mit dem Chaos doch noch anfangen lässt ...
4. Welten des Chaos
5. Aus Chaos wird Ordnung - der zelluläre Automat
6. Verwandte Trhemen

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Quellen:

Von einem konservativen Chaos spricht man, wenn es sich um ein chaotisches System handelt, bei dem die Bewegungsenergie erhalten bleibt und kein Verlust durch innere Reibung erfährt.


1. Chaosdefinitionen history menue scroll up

Hier entdecken wir solche wichtigen Chaos-Grundbegriffe wie den Attraktor, Iterator oder aber die Sensitivität.
Woran erkennt man eigentlich Chaos?
 
Sensitivität - oder Überempfindlichkeit

Um ein chaotisches System also solches zu erkennen, benötigt man gewisse Informationen, welche klare Trennlinien zwischen chaotischem und nichtchaotischem Verhalten ziehen. Als Beispiel soll uns hier der quadratische Iterator x=ax(1-x) dienen, wobei a einen Wert von 4 erhält und X0 mit 0,2027 festgelegt wird. Da Zahlen an sich in den meisten Fällen wenig anschaulich sind, sollen viele Dinge mit Hilfe des Casio Grafiktaschenrechners CFX-9850G nachvollzogen werden. Die Eingabe des oben genannten Iterators erfolgt zunächst unter "Recursion". Es folgen die Tasten F3 und F2, dadurch wird die Art der Zahlenfolge bestimmt. Zur Eingabe des Iterators ist zu sagen, dass für jedes x (siehe oben) "an" eingesetzt wird, so dass "an+1=4an(1-an)" zu lesen ist. Weitere Einstellungen erfolgen im "Ran-Menü" (F5). Folgende Zahlen sind einzutragen: Start: 1, End: 20, a1: 0.2027. Durch Betätigung der EXE-Taste werden die Ergebnisse der ersten 20 Iterationen tabellarisch aufgeführt, wobei schon hier deutlich wird, dass es sich um chaotisches Verhalten handelt, da die Zahlen scheinbar willkürlich ihre Werte ändern. Durch das drücken der Tasten F5 sowie F1 werden die Werte grafisch sichtbar gemacht.

Der Iterator soll nun geringfügig verändert werden, indem a den Wert 3,888881 zugewiesen bekommt. Das Ergebnis ist überraschend. Wenn man die tabellarischen Werte, sowie die grafische Darstellung betrachtet, so ist keine logische Verbindung zwischen diesem und dem vorhergehendem Iterator zu finden, obwohl sich der Wert von a nur um 0.111119 verändert hat.

Es liegt ein Fall von Sensitivität vor. Jede noch so kleine Abweichung der Anfangswerte wird im Laufe der Zeit verstärkt. Dieses "sensitive Verhalten" kann man mit Hilfe der so genannten "grafischen Iteration" noch deutlicher machen. Doch zuvor soll die Sensitivität noch ein einem weiteren, weitaus praktischerem Beispiel, dem "Doppelpendel" verdeutlicht werden. Es wurden zwei Versuche unter gleichen Startbedingungen durchgeführt (Simulation des Computers). Der einzige Unterschied ist, dass das Pendel 1 bei dem zweiten Versuch um 0.1 Einheiten verkürzt wurde.

Ausgangsstellung
Verlauf des Pendels nach 5 Sekunden (Pendellänge 0.8 Einheiten)
Verlauf des Pendels nach 5 Sekunden (Pendellänge 0.7 Einheiten)

 

Nach der Durchführung der beiden Versuche ist zu erkennen, dass das veränderte Pendel einer deutlich anderen Verlaufsbahn folgte. Das Ergebnis auch hier: "Kleine Veränderungen der Startwerte führt zu großer Veränderung der Ergebnisse!".

Unter Iteration versteht man ein schrittweises Rechenverfahren, zur Annäherung an die Lösung einer Gleichung. Das Wort an sich kommt von dem lat. Wort "iterum" und heißt wörtlich übersetzt "wiederum". Ein Iterator ist demnach eine Gleichung, bzw. ein Algorithmus, welcher schrittweise zum Ergebnis führt. Das schauen wir uns am besten gleich mal an:

Ein Iterator, wie z.B. der schon erwähnte "x=ax(1-x)", kann mit Hilfe einer Parabelkurve dargestellt werden. Dieses Verfahren der grafischen Darstellung nenn man "grafische Iteration". Zunächst wird der Graph des Iterators gezeichnet "y=ax(1-x)". Hinzu kommt immer eine Gerade mit dem Anstieg m=1 (Winkelhalbierende). Dies ist die simple Vorbereitung für eine grafische Iteration, welche nun Informationen über das chaotische, oder auch stetige Verhalten, sowie der Sensitivität eines Iterators liefern kann. Gestartet wird zunächst von einem Punkt X0, welcher relativ klein sein sollte. Von diesem Punkt wird der y-Achse entlang eine Vertikale bis zur Parabelkurve gezeichnet. Von dort aus die Horizontale bis zur Winkelhalbierenden...

 

 

Diese Methode kann man mit Hilfe des Grafiktaschenrechners überprüfen. Nach der Eingabe des Iterators (z.B. an+1=2.75an[1-an]) unter dem Menü Recursion und der tabellarischen Anzeige der errechneten Werte, folgt die grafische Darstellung des Iterators durch die Betätigung der Taste F4 (WEB). (Unter View Window sollten noch passende Einstellungen vorgenommen werden, z.B. x von 0 bis 1, sowie y von 0 bis 1.) Zunächst wird uns nur der Graph und die Winkelhalbierende angezeigt. Durch mehrmaliges drücken der EXE-Taste erfolgt nun die eigentliche grafische Iteration.

 

 

stetige Iteration (Abbildung 1)

 

   

chaotische Iteration (Abbildung 2)

 

An der Abbildung 1 ist sehr schön zu erkennen, dass es sich um einen stetigen, bzw. stabilen Iterator handelt, da er gegen einen bestimmten Punkt strebt. Die gleiche Iteration für a=4 (Abbildung 2) zeigt ein vollkommen anderes Bild. Sie endet scheinbar nie, ein Zeichen für chaotisches Verhalten, (es ist jedoch darauf zu achten, dass die Iteration keinem langen Zyklus entspricht, sondern wirklich einem nie endenden Verlauf folgt). Die Iteration füllt so, früher oder später den ganzen verfügbaren Raum aus, was auch als "Mischung" bezeichnet wird. Es gibt allerdings auch Beispiele welche Sansitivität aufweisen, jedoch nicht chaotisch sind. Dies kann am Beispiel "ax+1=ax*a" nachvollzogen werden. Die grafische Iteration wird mit a=0.1 und a= 0.101 durchgeführt. Folgendes grafisches Ergebnis ist zu sehen.

 

 

 

Der geringe Unterschied von "a" wird zwar im Laufe der Zeit verstärkt und führt zu einem Auseinanderlaufen der einzelnen Iteratoinen, die Fehlerentwicklung verhält sich jedoch linear. Zum Vergleich hier ein Bild einer grafischen Iteration eines chaotischen Iterators.

 

 

Sensetiviät ist also nur dann ein Zeichen für chaotisches Verhalten, wenn sich die Fehlerentwicklung ebenfalls chaotisch verhält. Zusammenfassend ist zu sagen das folgende Eigenschaften kennzeichnend für Chaos sind:
1. Sensitiviät
2. Mischung
3. "Periodische Punkte, die dicht liegen" - mehr dazu hier

 


2. Chaostheorie history menue scroll up

Das muss aber auch einfacher gehen ;-)
 
 


3. Was sich mit dem Chaos doch noch anfangen lässt ... history menue scroll up
Wenn sich ein ganzer Club so nennt, Informatik macht und damit auch noch nicht ganz schlechtes erreicht, dann hat's mit dem Begriff schon was auf sich -kann er nicht nur negativ sein!
 
 


4. Welten des Chaos history menue scroll up

 
Der Erste Hauptsatz ist der Energieerhaltungssatz: In einem abgeschlossenen System (kein Energieaustausch mit der Umgebung) bleibt die innere Energie E gleich
Der Zweite Hauptsatz stellt eine weitere Einschränkung der in der Natur möglichen Prozesse dar. Bei diesen muss nicht nur die Energie erhalten bleiben, sondern es gilt zusätzlich: Es gibt eine extensive Zustandsgröße S=S(E,V,N,...), genannt "Entropie", die bei allen in einem abgeschlossenen System ablaufenden Prozessen nicht abnehmen kann.
Bei näherer Betrachtung des Feigenbaum - Diagramms wird eine Tatsache sehr deutlich. Die Periodenverdopplung, sprich die Teilung, oder Abzweigung eines Astes erfolgt immer früher, d.h. die Aste werden mit steigendem "a" immer kürzer. Nun zwängt sich der Verdacht auf, dass das Verhältnis zweier aufeinander folgenden Äste gleich sein müsste. Dies ist in der Tat so, dieses Verhältnis ist d = 4.6692... . Diese Zahl fand Feigenbaum heraus und wird deswegen auch als Feigenbaumkonstante bezeichnet. Diese Konstante ist nicht nur im Feigenbaum - Diagramm zu finden, sie existiert in sehr vielen chaotischen Systemen und ist daher eine sehr wichtige Basis in der Chaosforschung. Diese Zahl kommt auch noch in anderer Form vor, so gibt sie auch noch den Vergrößerungsfaktor an, welcher verwendet werden muss um von dem Gesamtbild auf exakt das gleiche Bild zu stoßen, was ja auf Grund der Selbstähnlichkeit möglich ist. Die Anwendungsmöglichkeiten dieser Konstante sind demnach hoch. Mit ihrer Hilfe könnte man z.B. Angaben über den Zeitpunkt der Periodenverdopplung machen und sagen, wann der Eintritt in´s Chaos erfolgen wird.
Nebenbei gesagt ist es auch erstaunlich, dass sich im chaotischen Bereich des Diagramms scheinbare "Inseln der Ordnung" befinden.
Entropie

Unordnung ist nicht gleich Unordnung, und weil das so ist hat man sich überlegt, eine physikalische Größe festzulegen, welche den Grad der Unordnung wiedergibt. Man nennt sie Entropie. Ist ein System geordnet, so ist dieses entropiearm, ein chaotisches System wie z.B. mein Federkästchen ist äußerst entropiereich. In der Natur ist häufig eine Eutropiezunahme zu beobachten. Eine Mauer z.B. welche zunächst geordnet ist (Ziegel auf Ziegel), verfällt nach einigen Jahren in einen ungeordneten Zustand. Die Natur liefert aber auch Beispiele, bei denen aus Unordnung Ordnung wird. Sieht man z.B. eine Ente im Wasser schwimmen, dann scheint es, als seien die Wirbelmuster, welch sich hinter der Ente bilden geordnet, obwohl der Wasserfluss höchst chaotisch ist. Nun scheinen diese Aussagen nicht mit dem überein zu stimmen, was uns die Hauptsätze der Thermodynamik sagen. Diese Gesetze lassen sich wohl bei einfachen, jedoch nicht bei komplexen Systemen anwenden.
Weiter oben wurde schon erwähnt, dass es im chaotischem Teil Feigenbaum - Diagramm trotzdem Ordnung gibt. Dies bedeutet, dass nur der dynamische Fluss von wenig zu mehr Chaos Ordnung erzeugen kann. Ein Begriff der bei dem Thema Chaos ähnlich oft fällt wie der der Entropie ist die Dimension. Was dieses Wort bedeutet und was sie mit Chaos zu tun hat soll im nächsten Kapitel geklärt werden.

Dimensionen im Chaos

Der Begriff Dimension taucht in unserer Alltagssprache relativ oft auf, die Frage jedoch ist, ob auch jeder weiß was man unter dem Wort Dimension versteht. Die häufigste Bedeutung, ist Komplexität oder Größe. So kann ich persönlich sagen, dass das Thema Chaos ungeahnte Dimensionen angenommen hat, was soviel bedeutet wie, dass das Thema Chaos äußerst Komplex geworden ist, oder an Größe gewonnen hat. Das bedeutet, dass eine 1 - dimensionale Darstellung wesentlich leichter zu verstehen ist, als eine 3 - dimensionale Darstellung. Die menschliche Vorstellungskraft ist in Sachen Dimension äußerst beschränkt, genau genommen kann man sich ("als Standartmensch") nur eine 1-,2-, und 3 - dimensionale Darstellung vorstellen, da das Auge "nur" in der Lage ist diese drei Dimensionen wahrzunehmen.

 
ein Punkt besitz die Dimension 0
eine Strecke besitz die Dimension 1
ein Quadrat besitz die Dimension 2
ein Würfel besitzt die Dimension 3
... und ein Würfel im Würfel bekommt schon eine gerade noch vorstellbare 4. Dimension

Unser menschliches Nervensystem, welches eine Dimension von 2.8 besitzt können wir uns demnach nicht vorstellen, da wir noch nie ein 2.8 dimensionales Bild gesehen haben, oder besser gesagt wir haben es vielleicht schon gesehen, es nur nicht als solches erkannt. Daraus folgt, dass das Auge nicht in der Lage die wahre Beschaffenheit eines Gegenstandes wieder zu geben, da es die noch viel kleineren Strukturen (bis hin zum atomaren Aufbau) nicht erkennen kann. Was man jedoch unter einer fraktalen Dimension versteht ist nicht leicht zu sagen, da in der Mathematik der Begriff Dimension schon mehr als 10 mal definiert wurde. Die wohl verständlichste Erklärung mit Worten ist folgende: "Eine fraktale Dimension beschreibt das Verhältnis zwischen einem Objekt und der Vergrößerung eines Teils desselben.". Man könnte also auch sagen die Art der fraktalen Selbstähnlichkeit ist ausschlaggebend für die fraktale Dimension. Welche Dimension ein Fraktal jedoch besitzt, lässt auf unterschiedlichen Wegen ermitteln. Zwei der bekanntesten Methoden zu Dimensionsbestimmung sollen nun näher erläutert werden.

Fraktale Dimensionen haben die Eigenart, dass sie nie aus ganzen Werten bestehen, d.h. sie besitzen z.B. eine Dimension von 2.7... Spätestens jetzt wird klar, dass die Ermittlung nur rechnerisch erfolgen kann. Ein gewisser Felix Hausdorff fand heraus, dass eine Dimension dem Logarithmus der Objektvergrößerung, durch den Logarithmus des Faktors der Maßstabsverkleinerung entspricht. Diese Tatsache kann man auch mit Hilfe der alltäglichen Raumdimension verdeutlichen.
Gegeben ist eine Strecke. Diese wird nun in 3 kleinere, aber gleich große Teilstrecken zerlegt, welcher logischerweise der "Urstrecke" ähnlich sind.
 

Nun kommt folegend Formel zur Geltung: V (Vergrößerungsfaktor)D(Dimension) = A (Anzahl der Teilstücke) daraus folgt 31 = 3. Bei einem Quadrates welches in 9 gleiche Teile geteilt werden soll, würde dann gerechnet werden 3D = 9 daraus folgt, die Dimension eines Quadrates ist 2, da 32 = 9.

Nehmen wir nun an, ein Fraktal wird auf ein Drittel der ursprünglichen Größe vergrößert und in der Vergrößerung lassen sich nun 4 gleich große Teile, welche dem Aussehen des gesamten Fraktals gleich sind, finden. Zu rechnen ist 3D = 4, durch Umstellung kommt man auf die Formel D = log4/log3. Dieses Fraktal hätte also eine Dimension von 1.262. Eine weitere Methode zur Dimensionsbestimmung ist das "Rasterverfahren". Dieses Verfahren findet seine Anwendung bei Strukturen die keine Selbstähnlichkeit aufweisen und stimmt daher nicht immer mit der fraktalen Dimension überein. Es wird zunächst ein regelmäßiges Gitter mit der Maschenweite "s1" auf die Struktur gelegt. Nun beginnt die Zählarbeit. Gezählt werden alle Gittermaschen (Raster), die von der Struktur bedeckt werden. Die erhaltene Zahl wird mit N1 bezeichnet. Diser Vorgang wird nun mit einem Gitter wiederholt, dessen Maschenweite nur halb so groß ist. Wenn man nun ein Diagramm zeichnet, wobei auf der x-Achse alle log (N1 von s1) und auf der y-Achse alle log (N2 von s2) liegen, erhält man eine Gerade, deren Anstieg der fraktalen Dimension entspricht. Diese Art der Bestimmung hat den Vorteil, dass sie sehr praxisnah ist, d.h. mit dieser Methode kann man vielen Strukturen der Natur eine Dimension zuweisen.

Chaotische Systeme und ihre Atraktoren

Wenn man ein Kind auf der Schaukel anstößt, so macht man schnell die Entdeckung, dass der einmalige Anstoß nicht reicht damit das Kind dauerhaft schaukelt. Die Begründung ist ganz klar. Die Energie die man bei dem Anschupsen des Kindes verbraucht geht durch Reibung unterschiedlichster Art wieder verloren. Die Schaukel zieht es praktisch immer wieder zu einem Punkt hin. Würde man den Vorgang des einmaligen Ansstoßens in ein Koordinatensystem übertragen, dann käme folgendes Ergebnis heraus.

Sind sehr viele Räuber vorhanden, sinkt die Anzahl der Beutetiere, dies hat zur folge, dass aufgrund der stärkeren Konkurrenz einige Räuber sterben, was dazu führt, dass die Anzahl der Beutetiere wieder steigt.
Es hat sich wie erwartet ein Kreislauf gebildet. Hierbei ist der Kreis der Attraktor, da sich jeder Startpunkt irgendwann in den Verlauf des Kreises einpendelt.
Diese Art des Attraktor ist leicht verständlich, anders sieht dies schon bei chaotischen Systemen wie z.B. dem Wetter aus
 
Dies ist der Lorenz - Attraktor, er präsentiert alle möglichen Zustände des Wetters. Auch hier tritt Selbstähnlichkeit auf, d.h. beim Vergrößern spalten sich die Linien immer mehr auf
 
Diese Art von attraktoren, welche scheinbar kein Ende nehmen, bezeichnet man als "seltsame Attraktoren"


5. Aus Chaos wird Ordnung - Chaotische Systeme, die sich ordnen history menue scroll up

Ungewöhnlich, aber wahr: Chaotische Systeme neigen zu allen Extremen - so auch zur Ordnung. Im Folgenden dafür einige Veranschaulichungen. Der zelluläre Automat kommt in seiner Beschreibung von Andreas Lau und war Teil des Ergebnisses seiner Belegarbeit, welche er im Schuljahr 1993/94 am Gymnasium Flöha angefertigt hta.

Der Zelluläre Automat:

Der amerikanische Mathematiker John Conway entwickelte 1970 ein Spiel welches er "Game of Life" nannte. Dieses Spiel ist ein Beispiel für einen "Zellulären Automaten". Ein solcher Automat ist definiert durch:

1. eine Anordnung von Zellen (z.B. ebenes Quadratgitter)
2. die Zustände die eine Zelle haben kann (z.B. lebend/tot)
3. die Nachbarschaft, die zu einer Zelle gehört (z.B. 8 Nachbarzellen)

Zelluläre Automaten


6. Verwandte Themen history menue scroll up

Das zu erwartende "Durcheinánder" einer vorgegebenen Ordnung lässt sich exakt berechnen - zumindest dann genau, wenn die Menge sowie die verfügbare Zeit hinreichend groß sind. Auch auf Farben sowie deren Geometrien hat das ganze Einfluss.

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Apfelmännchen und Fraktale

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Zelluläre Automaten

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© Samuel-von-Pufendorf-Gymnasium Flöha © Frank Rost November 2002

... dieser Text wurde nach den Regeln irgendeiner Rechtschreibreform verfasst - ich hab' irgendwann einmal beschlossen, an diesem Zirkus (das haben wir schon den Salat - und von dem weiß ich!) nicht mehr teilzunehemn ;-)

„Dieses Land braucht eine Steuerreform, dieses Land braucht eine Rentenreform - wir schreiben Schiffahrt mit drei „f“!“

Diddi Hallervorden, dt. Komiker und Kabarettist

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